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第280章 卡塔朗猜想

对卡塔朗来说,他倒不喜欢读太多书,他觉得读太多的书让自己玩物丧志,让人脱离实际,使人有时真伪难辨。

学海无涯,对于好学的人而言,也许往往就是喜欢耽误时间沉浸其中。

沉迷书籍中的事物,而不去想很多实际的事情,是与书中的事情格格不入。最后空谈误国。

很多作者写的东西,往往是为了迎合一些人的口味,所以没有了真实性。即使就是人们所认为的好书,也会有这种毛病。

不读书的卡塔朗,有时喜欢发呆。

1842年的一天,卡塔朗对着8和9这两个数字发呆。

Jacobi , C. G. J对卡塔朗说:“你老是看着这两个数字发呆干嘛?”

卡塔朗说:“你有没有发现,一个是2的3次方,一个是3的2次方?”

Jacobi , C. G. J.说:“那是肯定的,这就这么了?”

卡塔朗说:“你还看到有两个连续整数这样的次方转换是连续的吗?”

Jacobi , C. G. J.没听明白说:“没懂你的意思。”

卡塔朗说:“比如说4的5次方和5的4次方就不是两个连续的数字了。而且之后也找不到这种类型的连续的数。”

Jacobi , C. G. J.恍然大悟的说:“没错,估计是找不到了,因为后面的数字这样的转换,相差的会很大,而且是越来越大了。”

卡塔朗说:“也不知道这样的猜想是不是真正正确的,应该证明一下。如果是不挣钱的,也看看能不能发现其中的其他规律。”

卡塔朗写出了方程x的m次方减去y的n次方等于一,如果是x,y,m,n都是整数,就只有(x,y,m,n)=(3,2,2,3)这个一种解。

后来1986 年,Shorey 和 Tijdeman 将 Catalan 猜想扩展到了有理数的范围,提出了如果x,y属于有理数,x>0,y>0,m,n属于整数N,m>1,n>1,mn>4。仅有有限多组解(x,y,m,n)。

这个称之为广义卡塔朗猜想。

由于该猜想与著名的广义 Fermat 猜想有直接的联系,所以这是一个很有意义但又非常困难的问题,目前仅解决了一些极特殊的情况。例如,vander Poorten证明了:对于给定的 S 集合,即由有限多个素数经乘法生产的正整数的集合,广义卡塔朗猜想仅有有限多组解(x,y,m,n)可使x和y都是S整数,即分母是该S集合中元素的有理数。

1844 年,Catalan曾经猜测:正整数8和9是唯一的两个连续的完全方幂。

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